速度ベクトル・加速度ベクトル

(一次元運動)

平均の速度 $\bar{v}=[x(t+\Delta x)-x(t)]/\Delta x=\Delta x/\Delta t$ で $\Delta t \rightarrow 0$ の極限をとる。

$$v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t+\Delta x)-x(t)}{\Del... ...im_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{dx}{dt}=\dot{x}(t)$$ (1)

(時間に関する微分を、特にドットで表す: ニュートンの微分記号) $x(t)$ を 2 次元の $t$ -$x$ グラフで表すと、速度はその時刻 $t$ に おける接線の傾きである。

(三次元運動) ベクトルは、その各成分を微分する。 時間はスカラー量 (座標系の回転に対して不変) であるから、 速度はベクトルである。加速度も同様にベクトル。

$${\boldsymbol v} = \frac{d {\boldsymbol r}}{d t}=\frac{d}{dt} \left( \begin{arra... ...mm] \frac{dz}{dt} \\ \end{array}\right) =\dot{{\boldsymbol r}}$$

$$= \frac{d}{d t}(x {\boldsymbol e}_x +y {\boldsymbol e}_y +z{\boldsy... ...) =\dot{x}{\boldsymbol e}_x +\dot{y}{\boldsymbol e}_y +\dot{z}{\boldsymbol e}_z$$ (2)

ここに、 ${\cal K}=({\boldsymbol e}_x, {\boldsymbol e}_y, {\boldsymbol e}_z)$ は絶対静止座標系 ( $\dot{{\boldsymbol e}}_x=0$ , $\dot{{\boldsymbol e}}_y=0$ , $\dot{{\boldsymbol e}}_z=0$ )であると仮定する。 (その様な特殊な座標系が存在するかどうかは分からないが、少なくとも、 地上表面の物体の巨視的運動を局所的に観測する限り、大地に結び付いた座標系 は近似的に絶対静止座標系であることが観測される。) 速度ベクトルは、 $\Delta {\boldsymbol r}$ の方向を向くから、 $\Delta t \rightarrow 0$ の 極限で、質点の軌跡に沿った接線の方向を向く。

加速度は、速度を更にもう一度時間微分する。

$${\boldsymbol a}=\frac{d {\boldsymbol v}}{d t}=\frac{d}{dt} \l... ...end{array}\right) =\dot{{\boldsymbol v}}=\ddot{{\boldsymbol r}}$$ (3)

(逆演算) 積分

${\boldsymbol v}(t)=d {\boldsymbol r}(t)/ dt$ を積分して

$$\int^{t_1}_{t_0} {\boldsymbol v}(t) dt =\int^{t_1}_{t_0} \frac{{\... ...r}_1}_{{\boldsymbol r}_0} d {\boldsymbol r}={\boldsymbol r}_1-{\boldsymbol r}_0$$ (4)

ここに ${\boldsymbol r}_0={\boldsymbol r}(t_0)$ . ${\boldsymbol r}_1={\boldsymbol r}(t_1)$ . (最後の積分の 表記方は注意を要する。ここでは、それぞれ $x$ , $y$ , $z$ 成分の式を まとめて書いただけであって、3 重積分とか体積積分の意味ではない !)

(注意) 物理では、$t < t_0$ からの微分と $t > t_0$ からの微分 が一致しないことはよくある。例えば、加速度が $t$ の関数として不連続 な場合がそのような場合である。

(ベクトルの極座標表示) (2 次元)

座標変換 ${\cal K}^\prime \rightarrow {\cal K}$ で、 ${\cal K}^\prime=(O^\prime; {{\boldsymbol e}_x}^\prime, {{\boldsymbol e}_y}^\prime)$ を質点に結び付いた座標系 (一般に重心系という) にとり、 質点をその座標原点におく。その様な座標系は一般には無数にあるが、 以下では、特別な場合として二つの場合を考察する。

質点が新しい座標系の原点にあるから、質点の運動を論じることは 座標系間の相対運動を議論することに帰着する。第 3 講の座標変換の 公式により、並進変換については ${\boldsymbol r}={\boldsymbol r}^\prime+{\boldsymbol a}$ である。 今、 ${\boldsymbol r}^\prime=0$ であるから、質点の位置をもとの座標系 ${\cal K}$ で 極座標表示しておくと便利である。 ${{\boldsymbol e}_x}^\prime$ を動径方向の 単位ベクトルに選んで、それを ${\boldsymbol e}_r$ と書くと、 ${\boldsymbol a}= r {\boldsymbol e}_r$ であるから、 ${\boldsymbol r}={\boldsymbol a}=r {\boldsymbol e}_r$ と表される。位置ベクトルの $x$ -$y$ 成分 の極座標表示を用いると

$${\boldsymbol r}=\left( \begin{array}{c} r \cos \theta \\ r \... ...in{array}{c} \cos \theta \\ \sin \theta \\ \end{array}\right)$$ (5)

と表される。次に、 ${{\boldsymbol e}_x}^\prime$ に垂直な単位ベクトル ${{\boldsymbol e}_y}^\prime$ は、偏角 $\theta$ の増大する方向を向く。これを、 ${\boldsymbol e}_\theta$ と書くと、 これは具体的には上の ${\boldsymbol e}_r$ の表式で $\theta$ を $\theta+\pi/2$ と 変えることによって得られる。つまり

$${\boldsymbol e}_\theta=\left( \begin{array}{c} \cos \left(\th... ...n{array}{c} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ \end{array}\right)$$ (6)

速度と加速度は、Eq. (5) の ${\boldsymbol r}$ を時間微分して得られるが、 その際、 ${\boldsymbol e}_r$ がもはや絶対静止座標系ではないことに注意する 必要がある。合成関数の微分法より

$$\dot{{\boldsymbol e}}_r=\left( \begin{array}{c} -\dot{\theta}... ... \theta \\ \end{array}\right) =-\dot{\theta} {\boldsymbol e}_r$$ (7)

だから

$${\boldsymbol v}=\dot{{\boldsymbol r}}=\dot{r} {\boldsymbol e}_r +... ...symbol e}}_r =\dot{r} {\boldsymbol e}_r + r \dot{\theta} {\boldsymbol e}_\theta$$ (8)

を得る。これを、 ${\boldsymbol v}=v_r {\boldsymbol e}_r + v_\theta {\boldsymbol e}_\theta$ と書いて、 $v_r$ , $v_\theta$ をそれぞれ、速度の動径 (方向の) 成分、角度 (方向の) 成分という。これらは、Eq. (8) から

$$v_r=\dot{r} ,\qquad v_\theta= r \dot{\theta}=r \omega$$ (9)

で与えられる。また、 $\omega=\dot{\theta}$ を角速度という。 同様に、もう一度時間で微分して、加速度の極座標成分を求めると ${\boldsymbol a}=a_r {\boldsymbol e}_r + a_\theta {\boldsymbol e}_\theta$ として

$$a_r = \ddot{r}-r (\dot{\theta})^2 \quad (=\ddot{r}-r \omega^2)$$

$$a_\theta = 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta} \quad \left( =2 \dot{r} ... ...dot{\omega} =\frac{2}{r}\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2}r^2 \omega \right) \right)$$ (10)

が得られる。( $(1/2)r^2\omega$ は、いわゆる面積速度である。)

(内積の微分) 普通の積の微分公式が成り立つ。

$$\frac{d}{dt}({\boldsymbol A}\cdot {\boldsymbol B}) =\left(\frac{d... ...{\boldsymbol B} +{\boldsymbol A}\cdot \left(\frac{d {\boldsymbol B}}{dt}\right)$$ (11)

これを使うと、 $v=\vert{\boldsymbol v}\vert$ =一定、の時

$$\frac{d}{dt}v^2=\frac{d}{dt}({\boldsymbol v}\cdot {\boldsymbol v}... ...mbol v}\cdot {\boldsymbol a})=0 \rightarrow {\boldsymbol v}\bot {\boldsymbol a}$$ (12)

すなわち、速さ=一定、の時、速度ベクトルと加速度ベクトルは直交する。 (例) 等速円運動 : $\dot{r}=0$ , $r$ =一定, $\omega$ =一定, $a_r=-r \omega^2$ , $a_\theta=0$ 、 (注意 : 速さ=一定 $\rightarrow$ 等速円運動、というのではない! $v^2=\dot{r}^2+(r \dot{\theta})^2$ であるから、$v=$ 一定、でも $\dot{r}=0$ とは限らない。)

また、単位ベクトルを微分すると、そのベクトルはもとのベクトルに直交する。 Eq. (7) は、そのような例である。

(3 次元極座標表示) $\rightarrow$ 自習

3 次元極座標についても、同様な取り扱いが可能である。 練習問題として、 ${\boldsymbol e}_r$ , ${\boldsymbol e}_\theta$ , ${\boldsymbol e}_\varphi$ を 具体的に求め、それらを時間で微分することによって 速度、加速度の 3 次元極座標成分を求めよ。 (ヒント： ${\boldsymbol e}_\varphi=[{\boldsymbol e}_r \times {\boldsymbol e}_\theta]$ であり、 この単位ベクトルは $x$ -$y$ 平面の方向を向く。) 間違えない様にして根気良く計算を続けると、以下の結果が 得られる。

$$v_r=\dot{r} ,\qquad v_\theta=r \dot{\theta} , \qquad v_\varphi=r \sin \theta \dot{\varphi} ,$$

$$a_r=\ddot{r}-r (\dot{\theta})^2 -r \left( \sin \theta \dot{\varphi}\right)^2$$

$$a_\theta=r \ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta} -r \sin \theta \cos \theta \left(\dot{\varphi}\right)^2$$

$$a_\varphi=\left(\frac{1}{r \sin \theta}\right) \frac{d}{dt}\left(r^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}\right)$$ (13)

(植松「力学」第 2 章、演習問題 10 参照)

(注意) Eq. (9) と Eq. (13) の速度成分は、簡単な幾何学的 考察によっても得られる。

(もう少し自然な座標)

もう少し自然な座標系として ${\cal K}^\prime$ の ${{\boldsymbol e}_x}^\prime$ を 軌跡の接線方向、 ${{\boldsymbol e}_y}^\prime$ を法線方向にとることができる。 そのためには、運動の軌跡に沿って起点 $O^{\prime \prime}$ から 距離を測って、それを $s(t)$ とする。(これは、スカラー量である。) ベクトル ${\boldsymbol r}$ を $s$ の函数として表す。

$${\boldsymbol r}(s(t))=\left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{array}\right)$$ (14)

この様な $s$ を媒介変数と呼んでいる。(以下では、$s(t)$ , ${\boldsymbol r}(s)$ 等 は全て''滑らか''(微分可能) な函数であり、特異点はないと仮定する。) 速度ベクトルは合成函数の微分法を用いて計算される。

$${\boldsymbol v}(t)=\frac{d}{dt}{\boldsymbol r}(s(t))=\frac{d{\boldsymbol r}(s)}{ds} \frac{ds}{dt} =v {\boldsymbol e}_t$$ (15)

ここで、$(ds/dt)=v$ は速度の大きさ(速さ) であり、 $(d{\boldsymbol r}(s)/ds)={\boldsymbol e}_t$ が 単位ベクトルである事は次のようにしてわかる。まず、微少時間 $\Delta t$ の間に動いた距離は $\Delta s=\sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}$ であるので、これを $\Delta t$ で 割って $\Delta \rightarrow 0$ へ移ると

$$\frac{ds}{dt} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t} =\lim_{\De... ...t(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2 +\left(\frac{\Delta z}{\Delta t}\right)^2}$$

$$= \sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}=v$$ (16)

また、

$$\frac{\Delta {\boldsymbol r}}{\Delta s}=\left( \begin{array}{... ...ta s} [1mm] \frac{\Delta z}{\Delta s} \\ \end{array}\right)$$ (17)

より、常に

$$\left\vert\frac{\Delta {\boldsymbol r}}{\Delta s}\right\vert =\sq... ...s}\right)^2} =\frac{1}{\Delta s}\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}=1$$ (18)

より

$$\left\vert{\boldsymbol e}_t\right\vert =\left\vert\frac{d {\boldsymbol r}}{ds}\right\vert=1$$ (19)

次に、単位ベクトル ${\boldsymbol e}_t$ をもう一度 $s$ で微分すると、 法線ベクトル (法線方向の単位ベクトル) ${\boldsymbol e}_n$ に比例するはずである。 これを

$$\frac{d}{ds}{\boldsymbol e}_t=\frac{1}{\rho}{\boldsymbol e}_n ,\qquad \frac{1}{\rho}=\left\vert\frac{d {\boldsymbol e}_t}{ds}\right\vert$$ (20)

と書いて、$1/\rho$ を曲率、$\rho$ を曲率半径という。 また、 ${\boldsymbol e}_t$ と ${\boldsymbol e}_n$ から決る平面を接触平面という。 その平面の新しい法線方向の単位ベクトルは、外積を使って ${\boldsymbol e}_b=[{\boldsymbol e}_t \times {\boldsymbol e}_n]$ で与えられる。 三つのベクトル、 ${\boldsymbol e}_t$ , ${\boldsymbol e}_n$ , ${\boldsymbol e}_b$ をそれぞれ、 接線ベクトル (tangent vector)、主法線ベクトル (pricipal normal vector)、 陪法線ベクトル (binormal vector) という。

接触平面の意味は、"運動が局所的には接触平面内でおこる"ことである。 これは次のようにしてわかる。まず、微少時間 $\Delta t$ の間におこる 位置ベクトルの変位は、Taylor 展開を使うと

$$\Delta {\boldsymbol r}=\dot{{\boldsymbol r}} \Delta t + \ddot{{\b... ...v}\Delta t + {\boldsymbol a}\frac{1}{2}(\Delta t)^2 +O\left((\Delta t)^3\right)$$ (21)

と表される。ここに、 $O\left((\Delta t)^3\right)$ は order $(\Delta t)^3$ の 微少量をあらわす記号である。 同様に、 ${\boldsymbol r}$ を $s$ の函数と考えると

$$\Delta {\boldsymbol r}=\frac{d {\boldsymbol r}}{ds} \Delta s + \f... ...{1}{\rho} {\boldsymbol e}_n \frac{1}{2}(\Delta s)^2 +O\left((\Delta s)^3\right)$$ (22)

と表される。ベクトル $\Delta {\boldsymbol r}$ のさす終点から接触平面までの 距離は、 $\Delta {\boldsymbol r}$ と陪法線ベクトル ${\boldsymbol e}_b$ の内積で 表されるから (すなわち、 $\vert\Delta {\boldsymbol r}\vert \cos \theta_b$ , ここに $\theta_b$ は $\Delta {\boldsymbol r}$ と ${\boldsymbol e}_b$ との間の角)、 これを Eq. (22) と ${\boldsymbol e}_b=[{\boldsymbol e}_t \times {\boldsymbol e}_n]$ を用いて計算すると

$$(\Delta {\boldsymbol r}\cdot {\boldsymbol e}_b) = {\boldsymbol e}_t \cdot [{\boldsymbol e}_t \times {\boldsymbol e}... ...t \times {\boldsymbol e}_n] \frac{1}{2}(\Delta s)^2 +O\left((\Delta s)^3\right)$$

$$= O\left((\Delta s)^3\right)$$ (23)

すなわち、微少時間後の質点の位置 ${\boldsymbol r}+\Delta {\boldsymbol r}$ は $(\Delta s)^2$ まで の精度で依然、接触平面内にあることがわかる。

曲率半径の意味は、この座標系で加速度を計算してみると明らかになる。 すなわち、 ${\boldsymbol v}=v {\boldsymbol e}_t$ を $t$ で微分して、

$${\boldsymbol a}=\dot{{\boldsymbol v}}=\dot{v} {\boldsymbol e}_t + v \dot{{\boldsymbol e}}_t$$ (24)

ここに、

$$\dot{{\boldsymbol e}}_t=\frac{d}{dt}{\boldsymbol e}_t=\frac{d {\b... ...rac{ds}{dt} =\frac{1}{\rho}{\boldsymbol e}_n v=\frac{v}{\rho} {\boldsymbol e}_n$$ (25)

より

$${\boldsymbol a}=\dot{v} {\boldsymbol e}_t + \frac{v^2}{\rho} {\boldsymbol e}_n$$ (26)

これを、 ${\boldsymbol a}=a_t {\boldsymbol e}_t+ a_n {\boldsymbol e}_n$ と書くと、接線方向の加速 成分と法線方向の加速度成分はそれぞれ

$$a_t = \dot{v} ,\qquad a_n = \frac{v^2}{\rho}$$ (27)

となる。つまり、$\rho$ は $t$ の瞬時における近似的な円運動の半径である。