5. 運動の保存量

運動の保存量 (時間に依存しない量) の主なものは エネルギー、運動量、角運動量であり、これらはある条件のもとに それぞれ次の保存則を満す。

エネルギーの保存則 $\cdots$ スカラー量の保存         (内積に関係)

運動量の保存則 $\cdots$ ベクトル量の保存

角運動量の保存 $\cdots$ ベクトル量の保存         (外積に関係)

これらは、いずれももとの運動方程式を積分して得られる。それ故、 これらの保存則を「運動方程式の積分形」という。

(保存則の効用)

$\circ$

運動の詳細によらない運動学 (kinematics) である。力の 性質 (保存力かどうか等) だけで決まる。

$\circ$

エネルギー保存則はスカラー量の保存 (加算的：質点系で特に有用) であり、しばしば運動方程式を直接解くより運動の解法が容易になる。

$\circ$

微視の世界では、力自身よりむしろポテンシャルの概念が より本質的。

$\circ$

$\cdots$

簡単のため、まず 1 質点の保存則を議論する。

5.1 仕事と運動エネルギー

1 質点の運動方程式

$$m\frac{d^2 {\boldsymbol r}}{dt^2}={\boldsymbol F}\ \ \qquad \left(\hbox{or} \qquad m\frac{d {\boldsymbol v}}{dt}={\boldsymbol F}\right)$$ (0)

と速度 ${\boldsymbol v}=(d {\boldsymbol r}/dt)$ の内積をとる。

$$m \left({\boldsymbol v}\cdot \frac{d {\boldsymbol v}}{dt}\right)=... ...}{2}m{\boldsymbol v}^2\right)=\left({\boldsymbol F}\cdot {\boldsymbol v}\right)$$ (0)

両辺を時刻 $t_0$ から $t_1$ まで積分して

$$\frac{1}{2}m {\boldsymbol v}^2 \Bigl\vert _{t=t_1} -\frac{1}{2}m ... ..._{t=t_0} =\int^{t_1}_{t_0} \left({\boldsymbol F}\cdot {\boldsymbol v}\right) dt$$ (0)

ここに

$$T=\frac{1}{2}m{\boldsymbol v}^2 \qquad \left(T(t)=\frac{1}{2}m {{\boldsymbol v}(t)}^2 \right)$$

$$W(t_1, t_0)=\int^{t_1}_{t_0} \left({\boldsymbol F}\cdot {\boldsymbol v}\right) dt$$ (0)

を、それぞれ運動エネルギー (kinetic energy)、$t_0$ から $t_1$ の 間に力 ${\boldsymbol F}$ が質点にした仕事という。これらを使うと Eq. (5.3) は

$$T(t_1)-T(t_0)=W(t_1, t_0)$$ (0)

と表わされる。すなわち、”質点の運動エネルギーの増分は その質点になされた仕事に等しい。'' ここから、仕事とエネルギーは実は同じものである事がわかる。また、 $W(t, t_0)$ を $t$ で微分して

$$\frac{d}{dt}W(t, t_0)=\left({\boldsymbol F}\cdot {\boldsymbol v}\right)={\boldsymbol F}\cdot \frac{d{\boldsymbol r}}{dt}$$ (0)

これを仕事率という。

(仕事の意味)

質点の運動を、ある起点 $O$ からの距離 $s$ を媒介変数として表わすと

$$W(t, t_0)=\int^t_{t_0} \left({\boldsymbol F}\cdot \frac{d {\bolds... ...c{ds}{dt} dt =\int^s_{0} \left({\boldsymbol F}\cdot {\boldsymbol e}_t\right) ds$$

$$=\int^s_{0} F_t~ds = \int^s_{0} F \cos \theta~ds$$ (0)

ここに、 ${\boldsymbol e}_t=(d {\boldsymbol r}/ds)$ は第 3 章で議論した接線ベクトル、 $F_t=\left({\boldsymbol F}\cdot {\boldsymbol e}_t\right)=F \cos \theta$ は力の接線成分、 $\theta$ は各点における力と接線の間の角である。 $s$ の積分で、区間 $[0,s]$ を $N$ 等分して ${\boldsymbol r}_i={\boldsymbol r}((i-1)s/N)$ ($i=1$ - $N+1$ ), ${\boldsymbol r}_1={\boldsymbol r}(0)$ , ${\boldsymbol r}_{N+1}={\boldsymbol r}(s)$ とすると

$$W(t, t_0)=\lim_{N\rightarrow \infty}\sum^N_{i=1} {\boldsymbol F}(... ...\rightarrow \infty}\sum^N_{i=1} F_x({\boldsymbol r}_i) \left(x_{i+1}-x_i\right)$$

$$+\lim_{N\rightarrow \infty}\sum^N_{i=1} F_y({\boldsymbol r}_i) \l... ...\rightarrow \infty}\sum^N_{i=1} F_z({\boldsymbol r}_i) \left(z_{i+1}-z_i\right)$$

$$=\int_\gamma (F_x dx+F_y dy+F_z dz) =\int_\gamma \left({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r}\right)$$ (0)

と書いて、これを経路 $\gamma$ : $\{{\boldsymbol r}(s^\prime)\}$ $s^\prime\in [0, s]$ にそった線積分という。”仕事は一般には経路による。” つまり、起点 $O~({\boldsymbol r}(0))$ から終点 $P~({\boldsymbol r}(s))$ までのまた別の経路 を $\gamma^\prime$ とすると、一般には

$$\int_\gamma \left({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r}\right) \neq \int_{\gamma^\prime} \left({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r}\right)$$ (0)

実際、起点と終点を入れ替えるだけでも、仕事の符号は変る。 $\gamma$ と同じ経路を、今度は $P$ を起点、$O$ を終点と する経路を $-\gamma$ で表すと

$$\int_\gamma \left({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r}\right) = -\int_{-\gamma} \left({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r}\right)$$ (0)

$W(t, t_0)$ が経路によらない時、力が「保存力」であるという。 この時、 ${\boldsymbol F}=F_x {\boldsymbol e}_x+F_y {\boldsymbol e}_y+F_z {\boldsymbol e}_z$ はあるスカラー 函数 $U=U({\boldsymbol r})=U(x,~y,~z)$ の偏微分係数(導関数) で書ける ( $W=-U+{\rm const.}$ )。

$$F_x=-\frac{\partial}{\partial x}U\ ,\quad F_y=-\frac{\partial}{\partial y}U\ ,\quad F_z=-\frac{\partial}{\partial z}U$$ (0)

これを、まとめて (ベクトル記法で)

$${\boldsymbol F}=-{\boldsymbol \nabla}\,U=-{\rm grad}~U$$ (0)

と書き、 ${\boldsymbol \nabla}$ をナブラ (nabla)、あるいは ${\rm grad}$ を gradient いう。これらは、線型微分作用素 (operator) である。

$${\boldsymbol \nabla}={\rm grad}=\left( \begin{array}{c} \frac{\pa... ...e}_y \frac{\partial}{\partial y} +{\boldsymbol e}_z \frac{\partial}{\partial z}$$ (0)

(例)

重力、バネの力、万有引力、クーロン力、$\cdots$ 保存力

摩擦、空気の抵抗、$\cdots$ 非保存力

[仕事とエネルギーの単位]

力$\times$ 距離 = $\hbox{kg\,m}/\hbox{s}^2 \cdot \hbox{m} =\hbox{N}\cdot \hbox{m}=\hbox{J}$ (ジュール) $\cdots$ MKS 単位

cgs 単位では          $\hbox{dyne}\cdot \hbox{cm} =\hbox{erg}$ (エルグ)

1 N=$10^5$ dyne より、 1 J=$10^7$ erg

また、仕事率の単位は 1 W (ワット) = 1 $\hbox{J}/\hbox{s}$

(簡単な例)

$\circ$

1 kg の重りを静かに 1 m 持ち上げるために 必要な仕事 (エネルギー) は約 9.8 N $\cdot$ m=9.8 J

$\circ$

等速円運動では力の向きと速度の向きが垂直より、 力は仕事をしていない。 $\rightarrow$ 運動エネルギーが保存される。 すなわち、速さ (速度の大きさ) が一定

$\circ$

1 次元運動

(自由落下運動) $z$ -軸を垂直上方向にとって、 重力は ${\boldsymbol W}=-mg\,{\boldsymbol e}_z$ より

$$W(t, t_0) = \int^t_{t_0} \left( {\boldsymbol W}\cdot {\boldsymbol v}\right)~d t =\int_\gamma ({\boldsymbol W}\cdot d {\boldsymbol r}) =\int^z_{z_0}(-mg)~dz$$

$$= -mg(z-z_0)$$ (0)

そこで、$U(z)=mgz$ を重力の位置 (ポテンシャル) エネルギーとすると $W(t, t_0)=-U(z)+U(z_0)$ . そこで、 $t \rightarrow z$ で書いて Eq. (5.5) は $T(z)-T(z_0)=-U(z)+U(z_0)$ . つまり

$$T(z)+U(z)=T(z_0)+U(z_0)\ ,\quad {\rm or} \quad \frac{1}{2}m v^2+mgz= \frac{1}{2}m {v_0}^2+mgz_0$$ (0)

これを、(力学的) エネルギーの保存則という。

(バネの運動) 復元力は $F=-kx$ より

$$W(t, t_0)=\int^x_{x_0}({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r}) =-\int^x_{x_0} kx~dx=-\frac{1}{2}k x^2+\frac{1}{2}k {x_0}^2$$ (0)

そこで、 $U(x)=(1/2)kx^2$ をバネの位置エネルギーとして $W(t, t_0)=-U(x)+U(x_0)$ より

$$T(x)+U(x)=T(x_0)+U(x_0)\ ,\quad {\rm or} \quad \frac{1}{2}m v^2+\frac{1}{2}kx^2=\hbox{const.}$$ (0)

$\circ$

万有引力ポテンシャル: 3 次元 (or 2 次元) 極座標で

$$U(r)=-G\frac{m_1 m_2}{r}$$ (0)

偏微分の公式 $(\partial r/\partial {\boldsymbol r})=({\boldsymbol r}/r)$ と動径方向の単位ベクトル ${\boldsymbol e}_r=({\boldsymbol r}/r)$ を用いると

$${\boldsymbol F} = -\frac{\partial}{\partial {\boldsymbol r}}U(r) =-\frac{\partial r... ...rac{d U(r)}{dr} \frac{{\boldsymbol r}}{r} =-\frac{d U(r)}{dr} {\boldsymbol e}_r$$

$$= -G \frac{m_1 m_2}{r^2} {\boldsymbol e}_r$$ (0)

すなわち、万有引力は動径方向(の逆) を向く。 ${\boldsymbol F}\parallel {\boldsymbol e}_r$ この様に力の方向が座標原点方向を向く力を「中心力」という。この時、 ポテンシャルは ${\boldsymbol r}$ の向きによらず、その絶対値 $r=\vert{\boldsymbol r}\vert$ だけの 函数である。